计组第二讲 2023.3.2+3.9

运算方法与运算器

按数制分

十进制：机器运算困难
二进制：硬件便于实现
十六进制：便于观察与转换
8421BCD 二-十进制：转换简单

按数据格式分

真值
机器数

按数据的表示范围分

定点数：小数点位置固定，数据表示范围小
浮点数：小数点位置不固定，数据表示范围较大

按能否表示负数分

无符号数：所有位均表示数值，直接用二进制数表示
有符号数：有正负之分，最高位为符号位

定点数

小数点位置固定，数据表示范围小

使用不方便，精度较低

存储单元利用率低

纯小数（设采用n+1位数据）

$X_0.X_{-1}X_{-2}...X_{-n}$

有符号数

$x=X_S.X_{-1}X_{-2}...X_{-n} , 0\le|x|\le1-2^n$

$X_S$ 是符号位

无符号数

$x=X_0.X_{-1}X_{-2}...X_{-n} , 0\le|x|\le1-2^{n+1}$

数的机器码表示（有符号数）

原码

$X=X_nX_{n-1}X_{n-2}...X_1X_0$

$X_n$ 表示符号位

所以结果=符号位+真值的绝对值

+0.110 = 0.110

-0.110 = 1.110

+110 = 0110

-110 = 1110

0有两种表示法，+0 = 0000 ， -0 = 1000

数据表示范围：

定点小数：-1<X<1
定点整数： $-2^n<X<2^n$ ,n是数位

补码

计算机中机器能表示的数据位数是固定的，运算都是有模运算，超过最大n位表示的高位会被舍弃掉

补码= 反码+1

正数的补码是其本身

计算时，先忽略符号，进行补码的运算，再根据符号与是否为小数或整数，选择前面加1或者加0或者不加

0的唯一表示法 -0的补码 = +0的补码

最小值 $T_{min}$ 的补码就是他本身

数据表示范围：

定点小数：-1<=X<1
定点整数： $-2^n\le X<2^n$ ,n是数位

加减运算规则

$【X+Y】补=X补+Y补$ ，减法同理
补码的补码就是原码

Warning:

-1的补码是1.000000

由原码求补码

除符号位以外，其他各位按位取反，末位再加1
从最低位开始，遇到的第一个1以前的各位保持不变，之后各位取反

10001100100 原

11110011100 补

求相反数的补码

连符号位一起各位求反，末位加1

1.1010101

0.0101011

反码

各位取码

移码

用于表示浮点数的阶码

用定点整数形式的移码，把真值平移 $2^n$ 个单位

$X_移 = 2^n+x$ ， $-2^n\le x<2^n$

或者直接把符号位取反

浮点数

小数点位置可变，形如科学计数法中的数据表示

$N=R^e\times M$

M:尾数是一个纯小数（整数部分为0），表示数据的有效数位，决定精度

R：基数，可以取进制代表的数，表示当前的进制(2,8,10,16)

e：阶码，是一个整数，用于决定小数点在该数的位置，决定大小

1位阶符+m位阶码+1位数符+n位尾数

注意，阶符使用移码表示，而数符使用补码表示
阶符移码表示的范围是 $[-2^m,+(2^m-1)]$ ,数符补码表示的范围是 $[-1,+(1-2^{-n})]$
规格化要求浮点数为1.0或0.1的形式